不少同学在初学线性代数时感到迷茫、痛苦，体会不到课程的实际意义。这很大程度上是因为，教材为了由浅入深、循序渐进，须从基础的抽象概念讲起，而真正直观的部分，往往要等到后面的细分领域或具体应用。于是初学者往往知其然，不知其所以然；只见树木，不见森林。希望本文能让你换个视角，以轻松有趣的日常眼光，看到一个不一样的线性代数。

　　本文是系列文章《N文粗通线性代数》的第三篇。我们在上篇文章中通过矩阵初等变换来引入矩阵的逆及其性质，讨论了线性方程组的求解过程。线性方程组解的结果只有三种可能：无解，有唯一解，有无穷多个解。那么，这其中又有什么规律呢？

　　上回书说到，某近视宅男，某日下楼到早点铺买早餐。眼镜忘在家里，看不清黑板上写的价目。于是，宅男就一边排队，一边听着前边顾客买早点的品种数量，和服务员小妹报的总价，据此计算各种早点品种的单价。

　　一通采集数据，分析计算之后，近视宅男求出了线性方程组系数矩阵的逆矩阵，算出了食品单价，买了早餐。一边吃，一边陷入了沉思。

　　我们知道，只有正方形的矩阵才可以求出逆矩阵。具体在我们这个买早餐的问题中，三个未知数，需要正好三笔交易，或者说三个线性方程，才可以求出未知的食品单价。但在现实世界中，我们完全可能遇到不是正好三笔买卖的情况，这些情况下，我们的计算会遇到什么问题呢？

　　从直觉上我们知道，方程个数少于未知数的个数，肯定无法求出唯一解。可是，假如二者相等，就一定能求出唯一解吗？更进一步，要是方程的个数比未知数的个数还多，情况又会怎么样？我们下面一步步地分析一下：

　　为了直观地讨论这些问题，我们把三种食品的单价画在一个三维的坐标系中。下面的这些图中：

　　上面这个图中画出了一个平面（红色），它是线性方程组中的第一个方程的图像，也就是第一个顾客那笔买卖。

　　仅仅根据第一笔买卖，我们显然无法算出三种食品的单价，但我们多少还是获得了一些信息。具体说，我们知道这三种食品的单价一定在这个平面的某一个点上。

　　比如这个平面和横轴相交在x1=14这个点上，这个点对应于油饼14元，茶叶蛋和豆腐脑免费。

　　尽管在现实中很少有老板这么定价，但这个点所对应的这一组单价与这一个方程是没有矛盾的。事实上，整个平面上所有的点都与这个方程没有矛盾，而真实的单价也处于这个平面上，就是我们图中标出的蓝色圆点。

　　的确，仅仅知道一笔交易，或者一个方程，我们没有足够的信息确定真实的单价。现在我们引入第二笔买卖，这个方程在图3中对应另一个平面（绿色）。

　　这个平面与第一个平面在一条直线上相交。这就是说，同时满足两个方程的单价组合，只能处于这条直线上。尽管真实单价组合确实位于这条直线上，但我们仍然无法确认其准确位置。同时符合这两个方程的，仍然有无穷多个解。

　　显然，我们需要引入第三笔买卖。第三笔买卖对应的线性方程，在下面图中对应紫色的平面。

　　这个新的平面与前面两个平面相交在一个共同的空间点上，这就是这个问题中真实的单价组合。因此，如果有N个未知数，至少要有N个方程才能求出唯一解。

　　那么，是不是方程数等于未知数个数就一定能求出唯一解呢？不一定。假设在买早餐这个例子中，宅男没有听清楚顾客3的交易数据，只用顾客1、2、4的交易数据来求解，就无法得到唯一解。

　　大家仔细观察，就会发现这位顾客4的交易数据是顾客1、2两组数据的线数据）。

　　因此，顾客4的数据没有提供任何新的信息，这一方程对应着图5中紫色的平面。而这个平面，与前面两个平面相交于同一条直线，这条直线上的所有点都同时满足三个方程。

　　不难想象，即使我们再增加若干方程，但如果新增加方程是原有方程的线性组合，则新增方程仍然不能提供新的信息，或者新的约束，所以仍然无法得到唯一解。这些方程画在上面的图中，是一组平面，而这些平面都相交于一条公共的直线）秩的那些事

　　A的秩（rank）关系密切。所谓秩，是指矩阵中线性独立的行或列的最大个数。前面买早餐的例子中，顾客1、2、3的三笔交易互相线性独立，因此这一个矩阵的秩rank(A)=3。而如果不包含顾客3，只考虑顾客1、2、4这三笔交易，则我们只能找到两个线性独立的行，第三行只是前两行的线性组合。因此，这样一个矩阵的秩 rank(A)=2。一个矩阵的列数m对应于方程组的未知数个数，而它的秩rank(A)则是线性独立的方程数的最大个数，也可以看成是能够提供独立信息的约束的个数。当rank(A

　　如果rank(A)如果一个矩阵是“矮胖”的，或者说它的行数小于列数，显然它不可能是列满秩的。“矮胖”矩阵对应的方程组没有唯一解，如果有解也是无穷多个解。

　　一个方程组里，每添加一个方程，就可能增加一个约束。这样，在理想的情况下，有效的约束够了，就可以帮助我们找到方程组的解。

　　比如买早餐的例子中，第一个顾客买了一个油饼、一个茶叶蛋、一碗豆腐脑，服务员小妹报价14元。假设另一个顾客买了两个油饼、两个茶叶蛋、两碗豆腐脑，这时报价应该是28元。假定顾客是位广东人，服务员小妹贴心地按照广东话来发音，于是我们的宅男就完全可能把“二十八”误听为“一三八”。这样一来，我们就遇到了一个自相矛盾的方程组。

　　Ay)。这里说的增广矩阵，就是把方程组Ax=y当中的y与A拼在一起。这里，y是纵向的一列数字，它可以看成是一个向量。而A当中各个列，也分别是同样维数的向量。不难看出，如果方程组Ax=y

　　y就一定是A当中各个列向量的线性组合。我们把y添加到A当中，新增加的这一列，与其他各个列是线性相关的。这样一来，增广矩阵(Ay)的秩rank(Ay)就不会比原矩阵A的秩rank(A)大。因此，方程组有解就等价于rank(Ay)=rank(A)。反之，如果添了一列之后，秩增加了，即rank(Ay

　　A)+1，则方程组必然是自相矛盾的，没有解。我们把前面谈到的这些情况列个表出来，就一目了然了。

　　不是满秩的时候，如果方程有解就会有无穷多个解，但不同情况下的“无穷多个”是不一样的。具体说，就是解空间的维数等于m-rank(

　　比如我们买早餐的例子中，m=3。当只有第一个顾客数据时，rank(A)=1，这时解空间是一个平面，解空间的维数等于（m-rank(A

　　在第二个顾客，乃至第四个顾客的数据加进来后，rank(A)=2，这时解空间的维数等于 3-2 = 1，解空间是一条直线。

　　A)=3，这时解空间的维数等于 3-3 = 0，于是解空间成为一个点，解的个数从无穷多变成了1，方程存在唯一解。

　　由于方程组右边等于0，因而它的增广矩阵的秩显然不会增加。因此齐次线性方程组肯定是有解的，我们用肉眼就可以看出x

　　A)为了便于理解，我们画出下面这个图，图中的每个平面相当于一个线性方程，这三个平面对应的方程是线性无关的。每个方程的右端常数项都等于0，其几何意义是每个平面都经过原点。图6

　　上面图中，三个平面只存在唯一一个公共交点，也就是原点。因此，当rank(

　　由于每个方程右边也都等于0，因此每个平面也都经过原点。不过由于三个方程是线性相关的，这三个平面有无穷多个公共点。

　　在秩等于2的情况下，这些公共点构成一条直线，这条直线也通过原点。这样，除了

　　在线性代数中，所有元素都为0的矩阵叫零矩阵。零矩阵与任何矩阵相乘自然会得到零矩阵，但反过来却不一定。事实上，两个非零矩阵相乘，也完全有可能得到零矩阵。一个存在非零解的齐次线性方程组，实际上就是两个非零矩阵相乘得到零矩阵的例子。齐次线性方程组在我们买早餐的例子中会是什么情形呢？首先，我们的宅男听到前面的所有交易的结果都是0，可以想象这种“零元购”是个非常欢乐的情况。过去学校或者单位的食堂，有的时候因为管理员经营有方，经常能到菜市场采购到便宜的食材，一年下来会结余很多，于是到年底就会有一天“吃结余”。显然，如果所有食品的单价都为0，就会出现吃结余或者零元购的结果。

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